Решение примерного варианта контрольной работы по математике

Лабораторные работы по электротехнике Машиностроительное черчение Решение контрольной по математике
Архитектура
Зимний дворец
Архитектура Санкт-Петербурга
Проекты загородных домов
Начертательная геометрия
Контрольная работа
Позиционные и метрические задачи
Задача на построение линии перемещения многогранной поверхности с плоскостью
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ
Темы контрольных и самостоятельных работ
Построить проекции пирамиды
Построить линию пересечения конуса вращения c цилиндром вращения.
Центральное проецирование
Проецирование прямого угла
Основные задачи преобразования
Поверхность вращения
Многоугольник  сечения
Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии
Аксонометрические (наглядные) проекции
Позиционные задачи
Построить линию пересечения конуса проецирующей плоскостью
Эллипсоид вращения
Винтовые поверхности
Способ перемены плоскостей проекций
Определение расстояний между двумя точками
Машиностроительное черчение
Электротехника
Лабораторные работы по электротехнике
Методическое пособие
Математика
Решение контрольной по математике
Алгебра матриц
Аналитическая геометрия
Неопределенный интеграл
Изменить порядок интегрирования в интеграле
Функции нескольких переменных
Линейные уравнения
Вычислить массу дуги кривой
Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика
Основные типы алгебраических структур
Определенный интеграл
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл
Криволинейный интеграл первого рода
Функция нескольких переменных и ее частные производные
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Решение примерного варианта контрольной работы
Производные ФНП высших порядков
Функции комплексной переменной
Вычислить работу силы
Примеры решения задач по курсу сопротивление материалов
Метод сечений
Удлинение стержня и закон Гука
Моменты инерции сечения
Кручение бруса с круглым поперечным сечением
Кручение тонкостенного бруса
Значение изгибающего момента
Касательные напряжения при поперечном изгибе
Перемещения при изгибе
Косой изгиб
Теории прочности
Установить вид сопротивления для каждого участка бруса
Определение перемещений методом Мора
Границы применимости решения Эйлера
Определение прогиба и напряжений
Прочность при циклических нагрузках
Основы теории упругости и пластичности
Теория предельных напряженных состояний
Основы теории пластичности
Теория тонких пластин
Энергетика
Экологические проблемы производства энергии
Изменение климата и Киотский протокол
Проблема теплового загрязнения
Экологические проблемы тепловой энергетики
Экологические проблемы ядерной энергетики
Альтернативный источник энергии
Возобновляемые источники энергии
Ветроэнергетика
Геотермальная энергетика
Энергия приливов и отливов морей и океанов
Гидроэлектростанции (ГЭС)
Биоэнергия
Ядерная энергетика.
Водородная энергетика
Основные способы получения энергии
Анализ процессов трансформации энергии
 

Матрицы и определители

Обратная матрица. Матричные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений.

Примеры. Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(2;5) Найти координаты векторов  .

Аналитическая геометрия на плоскости

Предел последовательности Задания для подготовки к практическому занятию

Предел функции

Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

Примеры. Вычислить производные функций:

Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование.

Замена переменной; интегрирование по частя

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Интегрирование рациональных функций

Интегрирование тригонометрических выражений

Определенные интегралы, несобственные интегралы

Функции нескольких переменных

Найти частные производные второго порядка для данной функции; убедиться, что :

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

Уравнения в полных дифференциалах

Типовой расчет по математике

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Подбор частного решения для линейного уравнения с правой частью специального вида

Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами: точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство  определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

Задание. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Правило для определения уравнения образа кривой.

Порядок высшей отрицательной степени  определяет порядок полюса.

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычета

Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

ЗАДАНИЕ  5. Изменить порядок интегрирования в интеграле

Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам.

ЗАДАНИЕ  9. Найти массу пластинки

Цилиндрический брус проектируется на плоскость  в криволинейную трапецию (D): 0 x 1, 0 y . Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его:

ЗАДАНИЕ 11. Вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина; замкнутый контур () складывается из двух кривых:  и  (см. рис. 80).

ЗАДАНИЕ 12. Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности :

Работа силы по перемещению материальной точки единичной массы есть линейный интеграл вдоль дуги  от точки  до точки 

Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор) в произвольной точке , а также найти уравнения векторных линий поля градиентов скалярного поля .

ЗАДАНИЕ 20. Убедиться в потенциальности поля

ЗАДАНИЕ 14. Исходя из определения производной, найти f ¢(0) для f(x)=

 

Другой подход к решению задачи  использование логарифмической производной.

ЗАДАНИЕ 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке

ЗАДАНИЯ 19-20. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя

ЗАДАНИЕ 21. Многочлен f(x)=3x4  22x3 + 60x2  73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x  2).

ЗАДАНИЕ 23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора:

Найти асимптоты и построить эскизы графиков функций: Прямая x = a называется вертикальной асимптотой, если f(x) является бесконечно большой при x ® a, то есть если f(x) = ¥, и односторонней вертикальной асимптотой, если f(x) = ¥ или f(x) = ¥.

ЗАДАНИЕ 26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика

Алгебра матриц

Принцип равенства Две действительные матрицы  и  называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.

Сложение матриц Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера.

Умножение матрицы на число

Скалярное умножение арифметических векторов

Умножение матриц

Рассмотрим основные свойства умножения матриц

Реакция произведения матриц на операцию транспонирования

 Основные типы алгебраических структур

Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

Основные типы алгебраических структур

 Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве  являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел  ставят в соответствие их сумму, разность и произведение,

Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

Свойства элементарных преобразований.Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

Эквивалентные матрицы

Предложение 1.3 Для любой матрицы  существует эквивалентная ей матрица приведённого вида

Пример 7. Построить матрицу  приведённого вида, эквивалентную матрице

Отношение эквивалентности

Матричные уравнения

Предложение (1-й критерий обратимости матрицы ). Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц

Матричные уравнения

Написать матрицу, транспонированную данным: .

  Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если  (сокращённо ПСУ и ССУ).

 Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы   позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

 Пример 12. Найти матрицу

При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней  найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы .

Пример 15. Разложить матрицу  в произведение простейших . Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , еслиУмножая полученное равенство справа на матрицу

В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Первый интеграл является табличным: .

Пример Найти интеграл .

Пример 5. Найти интеграл 

 

Определенный интеграл

Пример Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

Площадь плоской криволинейной трапеции Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычисление длины дуги кривой

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Цилиндрические координаты точки в пространстве - это ее полярные координаты в XOY и координата Z.

Связь сферических и декартовых координат

Формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам

Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела

Декартовы координаты. Пусть дан тройной интеграл от функции

Установим теперь правило для вычисления   такого интеграла.. Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной

Вычислим тройной интеграл Цилиндрические координаты

Сферические координаты

Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара

Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей.

Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл . Основные свойства и приложения двойного интеграла

Если m, М - наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x,y) в области D, то справедливо двойное неравенство (оценка двойного интеграла):

Область D называется правильной относительно оси Ох, если прямая, параллельная этой оси, проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках. Аналогично определяется правильная область относительно оси Оу.

Изменим порядок интегрирования. При этом нижняя граница области D задана двумя аналитическими выражениями .

Двойной интеграл в полярных координатах

Приложения тройного интеграла С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить: объём области V, массу m тела V переменной плотностью

Вычисление тройного интеграла в декартовых и других координатах Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх однократных интегралов

Тройной интеграл в сферических координатах

Криволинейный интеграл первого рода

Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода

Криволинейный интеграл второго рода 

Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Поверхностный интеграл первого рода

Поверхностный интеграл второго рода К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S.

Примеры решения задач Область интегрирования D задана уравнениями границ.

Вычислить с помощью тройного интеграла обьём тела, ограниченного указанными поверхностями

Уравнение сферы радиусом R с центром в начале координат

Функция нескольких переменных и ее частные производные

Полное приращение и полный дифференциал

Частные производные ФНП, заданной неявно

Экстремумы ФНП Локальные максимумы и минимумы ФНП

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Определение и свойства функции комплексной переменной

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Некоторые приложения тройных интегралов при помощи тройного интеграла можно вычислить массу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие величины.

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Векторная функция скалярного аргумента

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Соленоидальное векторное поле Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля равна нулю, то это векторное поле является соленоидальным.

Решение примерного варианта контрольной работы №1 Задача. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.

Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1

Задача 5. Поверхность  σ задана уравнением z =  + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.

Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор . Требуется:найти градиент поля в точке M0 и производную  в точке M0 по направлению вектора ;

Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i.

Решение примерного варианта контрольной работы

Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:

 

Задача 6.  Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

Функция нескольких переменных и ее частные производные

Полное приращение и полный дифференциал ФНП

Производные ФНП высших порядков

Частные производные ФНП, заданной неявно Если каждой паре чисел ( x ,  y ) из некоторой области DxOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию .

Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Функции комплексной переменной

Некоторые приложения тройных интегралов

Векторная функция скалярного аргумента Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка  ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t : .

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ  в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью

Задача Дана функция

Задача. Найти частные производные

Дана функция двух переменных: z = x2 xy + y2 – 4 x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy : x = 0, y = –1, x + y = 3. 

Задача Поверхность задана уравнением

Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy , и точка z 0 = – 1 + 3i.

Задача. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области  D , ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Задача Вычислить работу силы  при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

Дано векторное поле  и уравнение плоскости d : 3x + y + 2z – 3 = 0.

Задача Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).