Решение примерного варианта контрольной работы по математике


Вычислить массу дуги кривой Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика Основные типы алгебраических структур Определенный интеграл Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Вычислить работу силы

Криволинейный интеграл первого рода

Пусть на плоскости хОу расположена кривая MN, гладкая (касательная к кривой непрерывно изменяется  вдоль кривой) или кусочно-гладкая (составленная из гладких участков). Функция z =f(х,y) определена и ограничена на кривой MN. Составляется интегральная сумма:

где n - число частичных кривых, на которые разделена кривая MN; (хi;yi) - некоторая точка, взятая на i -ой частичной кривой; Δli- длина i-ой частичной кривой, i=1,2,…n.

Предел интегральной суммы (22) при условии, что все длины Δli →0 (n→∞) называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(х, у) по кривой MN и обозначается как

где MN - линия интегрирования; dl - дифференциал длины дуги.

Другое название интеграла (23) - криволинейный интеграл от функции f (х, у) по длине дуги MN. Комплексные числа. Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением

Кривая MN может быть замкнутой линией L. Для обозначения криволинейного интеграла в этом случае используют символ 

Основные свойства и приложения криволинейного интеграла первого рода

1. Линейные свойства:

2.Если линия L состоит из частей L1 и L2, то

3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл не изменяет своего значения, т.е. если под MN и NM понимать разнонаправленные линии, то

4. Это свойство характерно только для криволинейного интеграла 1-го рода, ввиду того, что dl > 0 при любом движении вдоль кривой MN.

С помощью криволинейных интегралов 1-го рода можно вычислять следующие геометрические и физические величины:

1)  длина кривой MN

2) Если кривая MN - материальная с распределённой плотностью , то

а) масса кривой

б) координаты центра тяжести

в)  моменты инерции кривой относительно осей координат и начала координат

 

Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода

Криволинейный интеграл второго рода 

Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Поверхностный интеграл первого рода

Поверхностный интеграл второго рода К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S.

Примеры решения задач Область интегрирования D задана уравнениями границ.

Вычислить с помощью тройного интеграла обьём тела, ограниченного указанными поверхностями

Уравнение сферы радиусом R с центром в начале координат


Изменить порядок интегрирования в интеграле