Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл Криволинейный интеграл первого рода Функция нескольких переменных и ее частные производные Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Решение примерного варианта контрольной работы

Решение примерного варианта контрольной работы по математике

Функции комплексной переменной

Пример 1. . Здесь  = x iy – число, сопряженное числу z= x+iy.

Выделим действительную и мнимую части ФКП:

 u = x2 y2 2xv = 2xy + 2y.

Вычислим значение функции w в точке z1 = 2 – 3i:

.

Тот же результат получаем непосредственной подстановкой:

.

Говорят, что ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) имеет предел в точке z0, равный числу A = a + ib, если . Обозначается: .

Существование предела ФКП w = f (z) при  в означает существование двух пределов: .

 ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) называется непрерывной в точке z0, если выполняется условие: .

 Непрерывность ФКП w = f (z) в точке z0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0, y0).

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП

 

Пример 2. Проверить аналитичность ФКП  .

 Þ  u = x2y2 – 2xv = 2xy + 2y (см. пример 1). Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.

Пример 3. Проверить аналитичность ФКП .

Выделим действительную и мнимую части функции:

.

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия выполняются во всех точках, кроме особой точки (0, 0), в которой функции и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция  аналитическая при .

 

Если функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную  можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.

Пример 4. Вычислить значение производной функции  в точке

z0 = – 1+ i.

Функция  – аналитическая, а значит, дифференцируемая во всей своей области определения (см. пример 3). Ее производная:

.

Вычислим значение производной в точке z0 = – 1+ i:

Следовательно, .

Некоторые приложения тройных интегралов

Векторная функция скалярного аргумента Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка   ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t : .

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ  в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью

Задача Дана функция

Задача. Найти частные производные

Дана функция двух переменных: z = x2 xy + y2 – 4 x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy : x = 0, y = –1, x + y = 3. 

Задача Поверхность задана уравнением z <=  + xy< – 5 x<3 . Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x<0 , y<0 , z<0 ), принадлежащей ей, если x<0 = –1, y0< = 2.


Изменить порядок интегрирования в интеграле