Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл Криволинейный интеграл первого рода Функция нескольких переменных и ее частные производные Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Решение примерного варианта контрольной работы

Решение примерного варианта контрольной работы по математике

Задача Вычислить работу силы  при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

Решение.

Для вычисления работы используем криволинейный интеграл II рода (формула (13)): .

Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:

.

Для заданной кривой получаем:

Таким образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:

 Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

, ,

тогда получим: .

 Используем прием «подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции»:

Ответ:  ед. работы.

 

Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:

 . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

Решение.

Вектор-функция задана в виде: .

Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t), y(t) z(t) по аргументу t:

Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (14) и (15):

.

Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:

, .

Ответы: , .

Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy , и точка z 0 = – 1 + 3i.

Задача. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области  D , ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Дано векторное поле  и уравнение плоскости d : 3x + y + 2z – 3 = 0.

Задача Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).


Изменить порядок интегрирования в интеграле