Алгебра матриц Аналитическая геометрия Неопределенный интеграл Изменить порядок интегрирования в интеграле Функции нескольких переменных Линейные уравнения Производные ФНП высших порядков Функции комплексной переменной

Решение примерного варианта контрольной работы по математике

б) y = (x 1). Область определения: x¥ ,1)  (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. Функция непрерывна всюду, кроме точки x = 1. Для выяснения поведения функции в окрестности точки разрыва вычислим односторонние пределы:

  = ¥= +¥ ;

(x 1)= 2e- ¥ = 20 = 0,

(x 1)= 2e+ ¥ = 2+) = ¥.

Делаем вывод о наличии односторонней вертикальной асимптоты x = 1. Переходим к изучению поведения функции при x®¥. Пример Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.

(x 1) = ¥e0 = ¥ ¥.

Ищем наклонные асимптоты:

k = =  = ×= 1e0 = 1;

предел при x®¥ такой же.

b =(f(x)  kx) = ((x 1) x) = (x ( 1)  ) =

=(x) = 11=0,

такой же предел получается и при x®¥. Следовательно, прямая y = x является асимптотой как при x ® +¥, так и при x®¥.

 Вычисляем y¢(x):

y¢ = + (x1)() =(1) =,

видим, что y¢(x) всегда положительна, следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов ¥ ,1) и (1,+¥ ), составляющих область определения.

  Вычисляем y¢¢(x):

y¢¢(x) = ((1))¢ =  ;

знак второй производной меняется только в точке x =  .

 Делаем вспомогательные рисунки (рис.43), вычисляем значение

y(5/3) = 8/(3e) и строим график. Ответ: график изображён на рис.44; экстремумов нет, точка перегиба графика (5/3, 8/(3e)).

Рис.43  Рис.44

в) y =. Область определения: x(0, 1)  (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. В точках области определения функция непрерывна. Исследуем поведение функции у границы области определения: ==0. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва:  = +¥, так как функция ln x при x >1 положительна;  = ¥. Вывод: прямая x = 1  вертикальная асимптота. Переходим к изучению поведения функции при x® +¥== 0; отсюда следует, что функция имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

 Вычислим производные: y¢ = , она всегда отрицательна;

 y¢¢(x) =. Знак второй производной меняется при перемене знака множителя (2 + ln x), что происходит в точке x = e 2, и при перемене знака множителя ln3 x, что происходит в точке x = 1. Делаем вспомогательные рисункирис.45, вычисляем значение y(e 2) = 1/2 и строим график.

Ответ. График изображён на рис.46; экстремумов нет, точка перегиба графика (e 2, 1/2).

Рис.45  Рис.46


ЗАДАНИЕ 21. Многочлен f(x)=3x4  22x3 + 60x2  73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x  2).

ЗАДАНИЕ 23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора:

Найти асимптоты и построить эскизы графиков функций: Прямая x = a называется вертикальной асимптотой, если f(x) является бесконечно большой при x ® a, то есть если f(x) = ¥, и односторонней вертикальной асимптотой, если f(x) = ¥ или f(x) = ¥.

ЗАДАНИЕ 26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:


Вычисление двойного интеграла в полярных координатах