Вычислить массу дуги кривой Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика Основные типы алгебраических структур Определенный интеграл Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Вычислить работу силы

Решение примерного варианта контрольной работы по математике

Основные типы алгебраических структур.

 Пусть  и  два произвольных непустых множества. Декартовым произведением  этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида , где . При этом две пары  и , где , считаются равными, если . Если , тогда множество  называется декартовым квадратом множества .

 Пусть . Внутренним законом композиции на множестве   называется произвольное отображение декартова квадрата во множество . Внутренний закон композиции на множестве  каждой паре  элементов множества  ставит в соответствие определенный элемент множества , который принято обозначать в виде сочетания трёх символов: элементов  и некоторого знака их соединяющего и одновременно позволяющего отличать друг от друга различные законы композиции, например,

 

,

  и т.д. Исследование функций и построение их графиков

 Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве  являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел  ставят в соответствие их сумму, разность и произведение,

.

  Введенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а умножение матриц – внутренним законом композиции на множестве .

 Пусть . Внешним законом композиции на множестве  над множеством  называется произвольное отображение множества  во множество .

Примером внешнего закона композиции на множестве матриц  над множеством действительных чисел  является операция умножения матрицы на число,

.

 Задание на некотором множестве одного или нескольких законов композиции, внутренних или (и) внешних, обладающих некоторыми стандартными свойствами, определяет на этом множестве различные алгебраические структуры (группы, поля, кольца, линейного пространства, алгебры и т.д.).

 Если внутренний закон композиции на множестве , записываемый как умножение, обладает свойствами:

 1)  (ассоциативность)

для любых  из ;

 2) в  существует такой элемент , что

  (существование единицы)

для каждого  из ;

 3) для каждого элемента  из  найдется такой элемент , что

  (обратимость)

тогда говорят, что закон композиции определяет на  структуру группы. Элемент   называется при этом единицей группы, а элемент  из 3) – обратным к  элементом и обозначается .

 Если наряду со свойствами 1) – 3) выполняется свойство

 4)  (коммутативность)

для любых  из , такая группа называется абелевой. Свойства 1) – 3) называются аксиомами группы, а свойства 1) – 4) аксиомами абелевой группы. В абелевой группе закон композиции записывается обычно как сложение, в связи с чем её аксиомы принимают вид

 1’) ;

 2’) в  существует элемент  такой, что

 ;

 3’) для любого  из  найдется элемент , такой, что

 ;

 4’) .

 Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве  являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел  ставят в соответствие их сумму, разность и произведение,

Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

Свойства элементарных преобразований.Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

Эквивалентные матрицы

Предложение 1.3 Для любой матрицы  существует эквивалентная ей матрица приведённого вида

Пример 7. Построить матрицу  приведённого вида, эквивалентную матрице

Отношение эквивалентности

Предложение (1-й критерий обратимости матрицы ). Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц

Матричные уравнения

Написать матрицу, транспонированную данным: .

 Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если  (сокращённо ПСУ и ССУ).

 Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы   позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

  Пример 12. Найти матрицу

При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней  найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы .

Пример 15. Разложить матрицу  в произведение простейших . Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , еслиУмножая полученное равенство справа на матрицу

В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.


Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл