Вычислить массу дуги кривой Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика Основные типы алгебраических структур Определенный интеграл Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах Вычислить работу силы

Решение примерного варианта контрольной работы по математике

Определенный интеграл

1. Вычисление определенного интеграла

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем: Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка Как было сказано в п. 10.1, в силу основной теоремы существования и единственности решения для уравнения второго порядка определена задача Коши, когда в точке х = x0 заданы значения неизвестной функции и ее производной

.

 

Первый интеграл является табличным: .

Пример Найти интеграл  .

Пример 5. Найти интеграл 

Пример Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

Площадь плоской криволинейной трапеции Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычисление длины дуги кривой


Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл