Начертательная геометрия

Курсовая работа по начертательной геометрии
Начертательная геометрия
Контрольная работа
позиционные и метрические задачи
Задача на построение линии перемещения многогранной поверхности с плоскостью
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ
Темы контрольных и самостоятельных работ
Построить проекции пирамиды
Построить линию пересечения конуса вращения c цилиндром вращения.
Центральное проецирование
Проецирование прямого угла
Основные задачи преобразования
Поверхность вращения
Многоугольник  сечения
Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии
Аксонометрические (наглядные) проекции
Позиционные задачи
Построить линию пересечения конуса проецирующей плоскостью
Эллипсоид вращения
Винтовые поверхности
Способ перемены плоскостей проекций
Определение расстояний между двумя точками
 

Проецирование прямого угла

Теорема. Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна.

Докажем это свойство проекций прямого, угла.

Доказательство. Пусть угол DEF=90° и расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости Р. Тогда, как и всякая фигура, лежащая в плоскости, параллельной Р, данный угол спроецируется на Р без искажения, то есть его проекция угол def = 90°.

Через прямые EF и Ee проведем дополнительную плоскость Q. Плоскость Q перпендикулярна плоскости P.

Возьмем на перпендикуляре Ff какую - либо точку К и соединим ее с EЕ. Угол DEK тоже прямой, так как DE^Q- Проекция угла DEK совпадает с проекцией угла DEF, так как точки F и K лежат на одном перпендикуляре к плоскости Р. Таким образом (угол)< dek=< def= 90°.

Но, как видно непосредственно из чертежа, только одна сторона DE угла DEK параллельна плоскости P.

Вторая сторона его EK наклонна к плоскости P.

Итак, для того чтобы прямой угол проецировался в натуральную величину, достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций

На чертеже плоскость может быть задана несколькими способами:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой;

б) проекциями прямой и точки, не лежащей на этой прямой;

в) проекциями двух пересекающихся прямых;

г) проекциями двух параллельных прямых;

д) проекциями любой плоской фигуры;

е) следами плоскости.

От одного задания плоскости можно пеейти к другому. В ряде случаев плоскость может быть изображена при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости поекций.

Прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций называют, следами плоскости.

 Точки пересечения плоскости с осями проекци называются точками схода следов.

Виды плоскостей (по отношению к плоскостям проекции, плоскость может занимать сл. положения:

а) Плоскости уровня (плоскости || к плоскостям проекции)

б) Проецирующие (плоскости ^ к плоскостям проекции)

в) Наклонные (плоскости общего положения)

1) Горизонтально-проецирующая плоскость P(ABCD)^H

2) Фронтально-проецирующая плоскость Q(ABCD)^V

3) Профильно-проецируещая плоскость T(ABCD)^W

 

1) Горизонтальная плоскость P(ABCD)||H

2) Фронтальная плоскость Q(ABCD)||V

3) Профильная плоскость T(ABCD)||W

Если фигура || пл-ти проекций, то она проецируется в Н.В. Проекции фигуры на 2 другие пл-ти проекций || осям, определяющую данную пл-ть

Если фигура перпендикулярна пл-ти проекций, то их проекция проецируется в линию и проецируется в НВ. Углы наклона фигуры к двум другим пл-ям проекции проецируется в НВ

Прямая лежит в плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в плоскости, если имеет одну общую точку с плоскости и параллельно прямой, лежащей данной плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит линии, лежащей в данной плоскости.

В плоскости можно провести прямую принадлежащую плоскости и таких прямых можно провести бесчисленное множество. Среди них есть прямые, занимающие особое, частное положение в плоскости. К ним относятся горизонтали, фронтали. Проофильные прямые и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Эти линии называются главными линиями плоскости.

Горизонталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельна горизонтальной плоскости проекций.

Фронталь - это прямая принадлежащая плоскости и параллельна фронтальной плоскости проекций.

Профильная прямая – прямая, лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекций.

Линия ската – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонтальному следу или ее горизонтали. 

Плоскости могут пересекаться и быть параллельны друг другу (частный случай).

Плоскости будут параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Например, через точку D (рис. 4.27) требуется провести плоскость, параллельную заданной (треуг.ABC). Проводим через точку две прямые, параллельные двум любым прямым, находящимся в заданной плоскости, например сторонам треугольника.

Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей заключается в следующем. Вводим вспомогательную плоскость (посредник) и строим линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными (рис.). В пересечении построенных линий находим общую точку двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построение с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

При решении подобных задач удобнее в качестве посредников применять проецирующие плоскости.

На рис. дано построение линии пересечения двух треугольников. Решение выполняем в следующей последовательности. Проводим две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости - плоскость Р через сторону АС и плоскость Q через сторону ВС треугольника АВС. Плоскость Р пересекает треугольник DEF по прямой 1 - 2. В пересечении горизонтальных проекций 1-2 и ac находим горизонтальную проекцию точки М(т) линии пересечения. Плоскость Q пересекает треугольник DEF по прямой 3-4. В пересечении горизонтальных проекций 3-4 и bс находим горизонтальную проекцию точки N(n) линии пересечения. Фронтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересечения, находим, проводя линии связи.

Анализ взаимной видимости треугольников на плоскостях проекций выполняем с помощью конкурирующих точек

Для определения видимости на фронтальной плоскости проекций сравниваем фронтально-конкурирующие точки 1 и 5. Эти точки лежат на скрещивающихся прямых АС и DE. Их фронтальные проекции совпадают. На горизонтальной проекции видно, что при взгляде по стрелке на плоскость V точка 5 расположена ближе к наблюдателю. Поэтому она закрывает точку 1. Следовательно, участок прямой АС левее точки М будет видимым на фронтальной плоскости проекций.

Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций сравниваем горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7. Они лежат на скрещивающихся прямых АС и DF. Их горизонтальные проекции совпадают. При взгляде по стрелке на плоскость Н видно, что точка 6 и прямая АС расположены выше точки 7 и прямой DF. Следовательно, участок AM прямой АС на горизонтальной плоскости проекций будет видимым.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую.

Пусть плоскость Р задана треугольником CDE. Через точку А (рис.) необходимо провести прямую АВ, параллельную плоскости Р. Для этого через фронтальную проекцию а' точки А проведем фронтальную проекцию а'b' искомой прямой параллельно фронтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Р, например прямой CD (a'b'llc'd'). Через горизонтальную проекцию а точки А параллельно cd проводим горизонтальную проекцию аb искомой прямой АВ (ab ll cd). Прямая АВ параллельна плоскости Р, заданной треугольником CDE.

Прямая будет также параллельна плоскости, если она лежит в плоскости, параллельной данной.

Позиционные и метрические задачи