Начертательная геометрия

История искусства Культура Античного мира
Начертательная геометрия
Контрольная работа
позиционные и метрические задачи
Задача на построение линии перемещения многогранной поверхности с плоскостью
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ
Темы контрольных и самостоятельных работ
Построить проекции пирамиды
Построить линию пересечения конуса вращения c цилиндром вращения.
Центральное проецирование
Проецирование прямого угла
Основные задачи преобразования
Поверхность вращения
Многоугольник  сечения
Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии
Аксонометрические (наглядные) проекции
Позиционные задачи
Построить линию пересечения конуса проецирующей плоскостью
Эллипсоид вращения
Винтовые поверхности
Способ перемены плоскостей проекций
Определение расстояний между двумя точками
 

Начертательная геометрия является тем разделом геометрии, в котором изучают способы изображения пространственных форм (линий, плоскостей, поверхностей) на плоскости чертежа и решают позиционные и метрические задачи по заданным изображениям данных форм.

К позиционным задачам относятся задачи, в которых выясняются позиционные отношения между геометрическими элементам. Это задачи на их видимую принадлежность или пересечение.

К метрическим относятся задачи, в которых определяются измеряемые величины: это расстояния между геометрическими элементами и углы между ними.

Любое инженерное творчество – это создание каких-то геометрических образов. Способами начертательной геометрии и графическими построениями осуществляется конструирование этих образов. Инженер получает информацию зрением, а не обонянием или слухом. Составлением и обработкой этой информации занимается начертательная геометрия. Обмен информацией между людьми осуществляется в виде закодированной геометрии. Роль начертательной геометрии возрастает в связи с компьютеризацией процессов конструирования. Способы начертательной геометрии – это единственные способы при конструировании поверхностей.

Начертательная геометрия – единственная наука, формирующая пространственное мышление. Она является основой инженерного образования.

Система обозначений геометрических образов и действий

А, B, C … – точки пространства (заглавные буквы латинского алфавита)

a, b, c … – линии в пространстве (строчные буквы латинского алфавита)

α, β, γ … – плоскости, поверхности (строчные буквы греческого алфавита)

[AB] – отрезок прямой

Aα – проекция точки А на плоскость α

|| – параллельность

 – пересечение, например [AB]  [CD] = K

  – взаимная принадлежность, например a  α (линия a принадлежит плоскости или поверхности α)

– совпадение геометрических образов

Метод проекций

Через точку А проведём прямую S перпендикулярно к плоскости α (рис. 1). Прямая S есть направляющая или проецирующая прямая.

Плоскость α – плоскость проекции. Точка Aα есть проекция точки А, которая получается от пересечения прямой S с плоскостью α. Такое проецирование называется прямоугольным или ортогональным .

В случае, когда угол между S и α не равен 90°, проецирование называется косоугольным.

На рис. 2 проекция фигуры Ј (Јα) есть множество проекций её точек. Проецирующие прямые S параллельны друг другу.

Такое проецирование называется параллельным.

Инвариантные (неизменные) свойства параллельного проецирования

Проекция точки есть точка.

Проекция прямой есть прямая, если она не совпадает с направлением проецирования (рис. 3). Для любой прямой, параллельной S (совпадающей с направлением проецирования), проекция прямой является точка (рис. 4).

цуошщ

3. а) если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии;

 б) если линия принадлежит поверхности или плоскости, то проекция линии принадлежит проекции поверхности или плоскости;

 в) если точка принадлежит линии и линия принадлежит плоскости или поверхности, то проекция точки принадлежит проекции поверхности или плоскости;

 г) если фигура принадлежит поверхности или плоскости и поверхность или плоскость параллельна направлению проецирования, то проекция этой фигуры принадлежит их следу (рис. 5).

Если прямые в пространстве параллельны, то проекции этих прямых также параллельны.

Если фигура принадлежит поверхности и поверхность параллельна плоскости проекции, то проекция этой фигуры равна самой фигуре (рис. 6).

При ортогональном (прямоугольном) проецировании, если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекции и другая сторона не перпендикулярна к плоскости проекции, то проекция прямого угла есть прямой угол (рис. 7).

пл. α || пл. β

∆ABC = ∆ABC

AB || α

BC не  α

ABC = 90°

ABC = 90°

Прямоугольное (ортогональное) проецирование точки на три плоскости проекции

Положение точки (а следовательно, и любой геометрической фигуры) может быть определено, если будет задана какая-нибудь координатная система. Очень удобной для фиксации геометрической фигуры является декартова система координат (Декарт – французский математик и философ), состоящая из трёх взаимно-перпендикулярных плоскостей проекций. В пространстве трёхгранного угла, образованного плоскостями проекций: V (вертикальной), H (горизонтальной), W (профильной), точка определяется тремя координатами: X, Y и Z. Линии пересечения плоскостей проекций образуют оси координат X, Y и Z. Точка пересечения координатных осей (точка О) принимается за начало отсчёта координат.

Пользоваться пространственным макетом (рис. 8) для отображения ортогональных проекций неудобно из-за его громоздкости. Поэтому пользуются эпюром, т.е. чертежом, составленным из двух или более связанных между собой проекций геометрических фигур (рис. 9).

Преобразование пространственного макета в эпюр производится совмещением плоскостей H и W с фронтальной плоскостью проекции V.

На рис. 9 изображены три проекции точки A, причём проекция точки A′′′ может быть построена следующим образом.

Из фронтальной проекции точки (A′′′) проводим прямую, -ю оси Z, и на этой прямой от оси Z откладываем отрезок равный, координате Y точки. Следует заметить, что две проекции точки A′′ и A вполне определяют положение точки в пространстве, поэтому чаще всего на эпюре изображают две проекции геометрического образа (как правило, на горизонтальной и фронтальной плоскостях).

Позиционные и метрические задачи